Хаос задачи трех тел преодолен? Математики научились находить точные орбиты по точкам выравнивания
Взаимодействие двух космических тел — например, одиночной звезды и обращающейся вокруг нее планеты — описывается классическими законами Кеплера. Траектория планеты в такой изолированной системе неизменна во времени: это правильный эллипс, круг или гипербола. Параметры движения рассчитываются точно, а будущее системы можно предсказать на миллионы лет вперед. Однако в реальном космосе изолированных систем не существует. Стоит добавить к гравитационному взаимодействию третье тело, как математическая простота исчезает. Общая задача трех тел не имеет решения в виде универсальных формул. Гравитационное поле каждого участника непрерывно меняет траектории остальных, порождая сложную динамику. Малейшее отклонение в начальной скорости любого из компонентов со временем может привести к непредсказуемым последствиям: вытягиванию орбит, столкновению или гравитационному выбросу одного из участников в межзвездное пространство.
При этом в нашей планетной системе наблюдаются зоны удивительного долголетия. В окрестностях точек Лагранжа системы Солнце — Юпитер (в зонах гравитационного равновесия, которые опережают планету-гигант на шестьдесят градусов по ее орбите и отстают от нее на такое же расстояние) обращаются тысячи так называемых троянских астероидов. Гравитация массивного Юпитера и Солнца уравновешивает инерцию этих малых тел, удерживая их в относительно стабильных коридорах на протяжении миллиардов лет. При этом в аналогичных зонах системы Солнце — Сатурн крупных популяций астероидов практически нет. Причина этой разницы кроется именно в гравитации третьего участника: Юпитер своей массой дестабилизирует орбитальные области Сатурна, постепенно выталкивая из них любые малые объекты.
Чтобы рассчитывать движение космических аппаратов, поведение спутников или орбиты астероидов в таких системах, астрономам требуется анализировать так называемую ограниченную задачу четырех тел. В ней участвуют три массивных объекта (например, звезда и две планеты) и одно малое тело (зонд или астероид), масса которого ничтожна и не способна повлиять на гигантов. Однако корректно рассчитать движение малого тела невозможно без точного понимания того, как движутся сами три массивных объекта.
На протяжении десятилетий небесная механика использовала приближенную схему, известную как бициркулярная модель. Чтобы обойти неразрешимость задачи трех тел, исследователи прибегали к искусственному допущению: двум главным телам принудительно задавали строго круговое движение вокруг общего центра масс, а третье массивное тело заставляли обращаться вокруг них по правильной внешней окружности. Подобный расчет называют некогерентным. Его главный недостаток заключается в нарушении фундаментальной физики: заданные круговые орбиты не удовлетворяют законам ньютоновской гравитации. В реальности массивные тела непрерывно деформируют движение друг друга. Если планеты массивны или сближаются слишком тесно, погрешность некогерентных моделей накапливается лавинообразно, приводя к ошибочным выводам о стабильности всей системы.
Чтобы расчеты совпадали с физической реальностью, астродинамике требуются когерентные модели. Это означает, что траектории всех массивных участников должны в каждый момент времени строго подчиняться уравнениям тяготения. Команда математиков из Барселонского университета и Университета Сантьяго-де-Компостела разработала численный метод, позволяющий системно находить и непрерывно отслеживать целые семейства таких точных решений. В центре их внимания оказались так называемые относительные периодические орбиты.
В классической механике периодической называют орбиту, на которой все тела через строго определенный отрезок времени — период обращения — возвращаются в исходные точки пространства с теми же самыми скоростями. Но в задаче трех тел такие абсолютно периодические орбиты изолированы. Они представляют собой редкие математические исключения, которые разрушаются при минимальном изменении параметров системы. Относительные периодические орбиты устроены более гибко. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектории трех тел не замыкаются в простые кольца: тела выписывают сложные узоры, которые кажутся хаотическими. Однако во вращающейся системе координат это движение становится строго замкнутым. Через определенный промежуток времени вся система трех тел полностью воспроизводит свое взаимное расположение и внутренние скорости, но сама плоскость этой конфигурации за время пути поворачивается на постоянный угол.
Тела не обязаны возвращаться в исходные точки неподвижного пространства. Достаточно, чтобы через один цикл взаимные расстояния между ними и их относительные скорости в точности повторились, а вся система лишь сместилась на определенный угол поворота. Если этот угол поворота составляет рациональную долю от полной окружности (например, ровно половину, треть или четверть круга), то спустя несколько полных циклов орбита замкнется и в неподвижном пространстве, превратившись в абсолютно периодическую. Если же угол поворота иррационален, траектория никогда не замкнется, но форма взаимного движения тел останется стабильной неограниченно долго. Главная ценность таких орбит в том, что они образуют непрерывные семейства: плавно изменяя всего один физический параметр (например, расстояние между планетами), исследователи могут проследить непрерывную эволюцию устойчивых орбит от простых форм до крайне сложных.
Основная сложность задачи трех тел заключается в количестве неизвестных параметров. Чтобы описать движение трех материальных точек на плоскости, требуется двенадцать дифференциальных уравнений: по две координаты и по две составляющие скорости для каждого тела. Расчет устойчивости в двенадцатимерном пространстве параметров требует колоссальных вычислительных мощностей. Математики решили эту проблему с помощью геометрического явления, известного в астрономии как сизигия. Сизигией называют момент времени, когда три или более небесных тела выстраиваются строго вдоль одной прямой линии. В Солнечной системе примером сизигии служат затмения, когда Солнце, Луна и Земля оказываются на одной геометрической оси.
В математической модели исследователи использовали сизигию как строгий фильтр. В начальный момент времени все три тела располагаются строго на горизонтальной координатной оси. Векторы скоростей всех трех тел направлены строго вертикально (перпендикулярно линии выравнивания). Общий центр масс фиксируется в нулевой точке координат, что исключает из расчетов движение центра тяжести системы. Единица длины выбирается так, чтобы расстояние от центра до первого тела всегда равнялось единице. Благодаря законам сохранения импульса, энергии и масштаба двенадцатимерная система уравнений сжимается всего до трех независимых переменных: начального расстояния до второго тела и двух вертикальных скоростей.
Компьютерный алгоритм запускает движение тел из этой прямой линии и рассчитывает их гравитационное взаимодействие до тех пор, пока система снова не выстроится вдоль одной прямой. Если во время этого второго выравнивания расстояния между телами и величины их скоростей в точности совпали с исходными, а направления скоростей вновь перпендикулярны линии (пусть сама эта линия и повернулась на определенный угол), то относительная периодическая орбита успешно зафиксирована. После этого метод численного продолжения позволяет делать плавные шаги: изменяя расстояние между телами, алгоритм автоматически подбирает новые скорости, выстраивая непрерывную кривую решений.
Мало просто найти замкнутую орбиту — необходимо выяснить, сможет ли реальная
