4 000 000 000 000 000 000 проверок впустую: почему современные процессоры бессильны против гипотезы Гольдбаха

В математике есть задачи, которые выглядят какиздевательство над здравым смыслом. Их условия понятны первокласснику, норешение не поддается ни гениям, ни суперкомпьютерам. Гипотеза Гольдбаха —абсолютный чемпион в этом весе. Она дразнит ученых своей очевидностью уже тристолетия.

Суть проблемы укладывается в одно предложение: Каждое четноечисло больше двух можно представить как сумму двух простых чисел.

• 4 = 2 + 2

• 10 = 5 + 5 (или 3 + 7)

• 100 = 3 + 97 (или 11 + 89)

Казалось бы, бери и подбирай. Но именно здесь начинаетсябездна.

Почему это вообще проблема?

Главная сложность кроется в природе простых чисел (тех, чтоделятся только на 1 и на себя). Это «атомы» математики, из которых через умножениестроятся все остальные числа. Мы прекрасно понимаем их мультипликативнуюприроду (на этом построена вся современная криптография, например, алгоритмRSA).

Но гипотеза Гольдбаха требует от нас складывать их. Это всеравно что пытаться построить идеально ровную стену, используя камни, созданныеприродой для строительства арок. Инструменты, заточенные под умножение,ломаются при попытке применить их к сложению. Простые числа распределены вчисловом ряду псевдохаотично. Предсказать, где появится следующее простоечисло, невероятно трудно, а доказать, что для любого четного числа N всегданайдется пара простых p1 и p2, таких что p1 + p2 = N — задача за гранью текущихвозможностей математики.

Трагедия в свете керосиновой лампы и «метод решета»

За сухими формулами скрываются реальные человеческие драмы.Ближе всех к решению подошел китайский математик Чэнь Цзинжунь. В разгарКультурной революции, в крошечной каморке при свете керосиновой лампы, ондоказал теорему, которую теперь называют «1 + 2».

Что это значит? Чэнь доказал, что любое достаточно большоечетное число можно представить как сумму простого числа и числа, у которого небольше двух простых множителей (то есть почти простого). Он использовалусовершенствованный «метод решета» — способ фильтрации чисел, похожий надревнее решето Эратосфена, но гораздо более сложный и тонкий. Это былколоссальный прорыв, но сделать последний шаг — убрать этот «лишний» множительи получить чистую схему «1 + 1» — так и не удалось.

Брутфорс против бесконечности

Сегодня мы можем проверить гипотезу «в лоб» (методомперебора, или брутфорсом). Современные суперкомпьютеры перемалывают цифры вплотьдо 4 квинтиллионов (4 с 18 нулями), и каждый раз результат сходится. Дляинженера этого было бы достаточно: если мост стоит 4 квинтиллиона лет, значит,он надежен. Но для математика это не доказательство.

Бесконечность коварна. История знает примеры, когда гипотезыломались на числах с сотнями нулей (например, гипотеза Пойа). Контрпример кГольдбаху может прятаться там, куда не доберется ни один кремниевый процессор,даже если заставить его работать до тепловой смерти Вселенной.

Парадокс Гольдбаха учит нас смирению. Мы запускаем ракеты иобучаем нейросети, но до сих пор не понимаем фундаментальное свойство чисел,которыми пользуемся каждый день. Возможно, это утверждение истинно, но недоказуемов рамках нашей системы аксиом (привет теореме Гёделя). И это пугает большевсего: видеть истину, но не иметь возможности к ней прикоснуться.